이 포스팅은 System Dynamics 시리즈 8 편 중 4 번째 글 입니다.
목차
좌표계의 회전 변환
i번째에서 정의된 좌표계는, 내가 원하는 global 좌표계에서 좌표로 다음과 같은 관계를 갖는다.
\[\begin{bmatrix} x_p\\ y_p \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_p^i\\ y_p^i \end{bmatrix}\]이 행렬을 A라 정의하자.
\[A^i\;=\;\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta\\ \end{bmatrix}\]위치 벡터의 표현
다음과 같이 global 좌표계가 있고, 특정 body에서 정의된 좌표계가 있을 때, 우리는 이 두 좌표계를 변환할 필요가 있다. global 좌표계에서 body의 움직임을 알고 싶다. 강체라 가정하고, body의 좌표계에서 중심점이 되는 곳을 우리는 reference point 라 부른다. 또 그곳에서 정의되는 좌표계를 body frame, local coordinate 라 한다. 그리고 global 좌표계의 중심이 되는 곳을 reference frame 이라 부를 것이다. 이 두좌표계를 변환하는 관계식은 다음과 같다.
\[\overset{\rightarrow}{r_p}^i\;=\;\overset{\rightarrow}{R}^i\;+\;\overset{\rightarrow}{u_p}^i\]이 표기법을 말로 정의해보면, global 좌표계에서 표현된 p점의 벡터 는, reference point까지의 벡터 와 reference point로 부터 global 좌표계에서 표현된 특정 위치의 벡터 를 더한 것이다. 라는 의미이다. 이 때, reference point로 부터 global 좌표계에서 표현된 특정 위치의 벡터는 local coordinate 로 부터 global coordinate 로 회전 변환 한 것이므로,
\[\overset{\rightarrow}{r_p}^i\;=\;\overset{\rightarrow}{R}^i\;+\;A^i \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\]여기서 맨 오른쪽에 표현된 term은, local coordinate에서 표현된 특정 좌표이다.
\[\overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\;=\; \begin{bmatrix} {\overset{-}{x_p} }^i\\ {\overset{-}{y_p} }^i \end{bmatrix}\]속도 벡터의 표현
위치벡터를 미분하면, 얻을 수 있다.
\[\overset{\rightarrow}{r_p}^i\;={d\over dt }\overset{\rightarrow}{r_p}^i\;=\; \;\overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{R}^i}\;+\;\overset{\cdot}{A^i} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\;+\;A^i \overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i}\]여기서 의미를 파악해보면, 시간에 흐름에 따라, Rigid body assumption 에 의해 local coordinate 안에서 p점의 속도는 0이다. 따라서 마지막 항은 0이다.
\[\overset{\rightarrow}{r_p}^i\;={d\over dt }\overset{\rightarrow}{r_p}^i\;=\; \;\overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{R}^i}\;+\;\overset{\cdot}{A^i} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\]여기서 행렬 미분을 생각해보면, A는 theta 만의 함수이므로 이녀석을 시간 t에 대해 미분하면, chain rule 에 의해,
\[\overset{\cdot}{A^i} \;=\;{d\over dt}{A^i(\theta^i)} \;=\;{d\theta^i\over dt}({d\over d\theta^i}{A^i})\;=\;\overset{\cdot}{\theta^i}A^i_{,\theta}\]이렇게 표현되고, A를 theta에 대해 미분한 행렬은,
\[A^i_{,\theta}\;=\;\begin{bmatrix} -sin\theta^i & -cos\theta^i\\ cos\theta^i & -sin\theta^i\\ \end{bmatrix}\]Transform to Cross product form
결과적으로, 강체에서 속도 벡터는,
\[\overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{r_p}^i}\;=\overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{R}^i}\;+\;\overset{\cdot}{\theta^i}A^i_{,\theta} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\]2D에서 각속도 벡터는,
\[\overset{\rightarrow}{\omega}^i\;=\;\overset{\cdot}{\theta^i}\hat{k}\;=\;[0\;\;\;\;0\;\;\;\;\overset{\cdot}{\theta^i}]^T\]이 때,
\[\overset{\cdot}{\theta^i}A^i_{,\theta} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\;=\; \overset{\cdot}{\theta^i} \begin{bmatrix} -sin\theta^i & -cos\theta^i\\ cos\theta^i & -sin\theta^i\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overset{-}{x_p}^i\\ \overset{-}{y_p}^i\\ \end{bmatrix} \;=\; \overset{\cdot}{\theta^i}\begin{bmatrix} -\overset{-}{x_p}^isin\theta^i-\overset{-}{y_p}^icos\theta^i\\ \overset{-}{x_p}^icos\theta^i-\overset{-}{y_p}^isin\theta^i \end{bmatrix}\]로 정리될 수 있다. 여기서 Up 벡터는 다음과 같이 표현 될 수 있다.
\[\overset{\rightarrow}{ {u_p} }^i\; =\;A^i\overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\;=\; \begin{bmatrix} cos\theta^i & -sin\theta^i\\ sin\theta^i & cos\theta^i\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overset{-}{x_p}^i\\ \overset{-}{y_p}^i\\ \end{bmatrix} \;=\;\begin{bmatrix} \overset{-}{x_p}^icos\theta^i-\overset{-}{y_p}^isin\theta^i\\ \overset{-}{x_p}^isin\theta^i+\overset{-}{y_p}^icos\theta^i \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} u_x^i\\ u_y^i\\ \end{bmatrix}\]각속도 백터와 Up 벡터를 내적하면,
\[\overset{\rightarrow}{\omega}^i\times\overset{\rightarrow}{ {u_p} }^i\;=\; \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & \overset{\cdot}{\theta^i}\\ u_x^i & u_y^i & 0 \end{vmatrix} \\ \;\\ \;=\; \begin{vmatrix} 0 & \overset{\cdot}{\theta^i} \\ u_y^i & 0 \end{vmatrix}\hat{i} -\begin{vmatrix} 0 & \overset{\cdot}{\theta^i} \\ u_x^i & 0 \end{vmatrix}\hat{j} +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ u_x^i & u_y^i \end{vmatrix}\hat{k}\\ \;\\ \;=\;-\overset{\cdot}{\theta^i}u_y^i\hat i\;+\;\overset{\cdot}{\theta^i}u_x^i\hat j \\ \;\\ \;\\\]이 식을 행렬식으로 표현하면,
\[\overset{\cdot}{\theta^i}\begin{bmatrix} -u_y^i\\ u_x^i\\ \end{bmatrix}\;=\; \overset{\cdot}{\theta^i}\begin{bmatrix} -\overset{-}{x_p}^isin\theta^i-\overset{-}{y_p}^icos\theta^i\\ \overset{-}{x_p}^icos\theta^i-\overset{-}{y_p}^isin\theta^i \end{bmatrix}\;=\;\overset{\cdot}{\theta^i}A^i_{,\theta} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\]따라서,
\[\overset{\cdot}{\theta^i}A^i_{,\theta} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\;=\;\overset{\rightarrow}{\omega}^i\times\overset{\rightarrow}{ {u_p} }^i\]Summary
결론적으로 속도 벡터는 다음과 같이 표현된다.
\[\overset{\rightarrow}{r_p}^i\;=\overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{R}^i}\;+\;\overset{\cdot}{\theta^i}A^i_{,\theta} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i\;=\;\overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{R}^i}+\;\overset{\rightarrow}{\omega}^i\times\overset{\rightarrow}{ {u_p} }^i\]가속도 벡터의 표현
\[\overset{\cdot \cdot}{\overset{\rightarrow}{r_p}^i} \;=\;{d\over dt }\overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{r_p}^i}\;=\; {d\over dt}[\overset{\cdot}{\overset{\rightarrow}{R}^i}\;+\;\overset{\cdot}{\theta^i}A^i_{,\theta} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i]\]정리하면,
\[\overset{\cdot \cdot}{\overset{\rightarrow}{r_p}^i}\;=\; \overset{\cdot \cdot}{\overset{\rightarrow}{R}^i} -(\overset{\cdot}{\theta^i})^2A^i \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i +\overset{\cdot \cdot}{\theta^i}A^i_{,\theta} \overset{\rightarrow}{\overset{-}{u_p} }^i \\ \;\\ \;=\; \overset{\cdot \cdot}{\overset{\rightarrow}{R}^i}+ [\overset{\rightarrow}{\omega}^i\times(\overset{\rightarrow}{\omega}^i\times\overset{\rightarrow}{ {u_p} }^i)] +[\alpha^i \times\overset{\rightarrow}{ {u_p} }^i]\]여기서 alpha는,
\[\alpha^i\;=\;[0\;\;\;\;0\;\;\;\;\overset{\cdot \cdot}{\theta^i}]^T\]이다.