이 포스팅은 System Dynamics 시리즈 8 편 중 8 번째 글 입니다.

Part 1 - 01: 다물체 동역학 개론
Part 2 - 02: 평면에서 다물체계의 운동학
Part 3 - 03: Orthogonality, Vector Differentiation, Jacobi's Theorem
Part 4 - 04: 평면에서의 기구학
Part 5 - 05: 기구학적 제약
Part 6 - 06: Newton Raphson Method
Part 7 - 07: Computational Algorithm
Part 8 - This Post

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Newton Euler Equations
D’Alembert’s Principle
- Virtual Displacement
- D’Alembert’s Equation

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Newton Euler Equations

스크린샷 2019-05-08 오전 10 47 42 강체를 위치를 나타낸 그림

Reference point(O^i) 가 강체 i 의 질량중심에 위치해 있다고 생각하자.

$m^ia_x^i\;=\;F_x^i\\ m^ia_y^i\;=\;F_y^i\\ J\theta^{\cdot \cdot}\;=\;M^i$

M은 net Moment, J는 강체의 관성모멘트, F는 net force 이다. 따라서 2차원 공간에서 작용할 수 있는 3가지 자유도에 대한 힘과 모멘트는, 질량 중심에 작용하는 3가지 Term 으로 정리된다.

D’Alembert’s Principle

$\sum_i(\overset{\rightarrow}{F_i}-m_i\overset{\rightarrow}{a_i})\cdot \delta \overset{\rightarrow}{r_i}\;=\;0$

여기서 delta r 벡터는 Virtual displacement 라 한다.

Virtual Displacement

이 항은 시스템의 무한히 작은 변화를 가정했을 때 변위를 의미한다.
즉, 시간이 constant 일 때, 계의 변위를 측정한 것이다.
우리는 이것을 가상 변위라 부르는데, 실제로 시간이 상수일 때, 변위는 없기 때문이다.

식을 정리하면, 다음과 같이 정리된다.

D’Alembert’s Equation

${d \over dt}{\partial\large \mathcal{L} \over\partial \overset{\cdot}{q_j}}\;-\; {\partial\large \mathcal{L} \over\partial {q_j}}\;=\; Q_j^{nc}+Q_j^e$

$\mathcal{L}(Lagrangian)\;=\;T-V(kinetic\;E\;-\;potential\;E)\\ \;\\ nc\;=\;non\;conservative\;forse\\ \;\\ e\;=\;eternal\;force\\ \;\\$

여기서 q_j 는 다음과 같은 것들이 될 수 있다.

$\overset{\rightarrow}{q}\;=\; \begin{bmatrix} [R_x^1& R_y^1 & \theta^1] & [R_x^2& R_y^2 & \theta^2] & [R_x^3 & R_y^3 & \theta^3] \end{bmatrix}^T \\ \;\\ \;=\; \begin{bmatrix} q_1& q_2& q_3& q_4& q_5& q_6& q_7& q_8& q_9 \end{bmatrix}^T$

완숙의 에그머니🍳

08: Newton-Euler Equations, D'Alembert's Principle

Newton Euler Equations

D’Alembert’s Principle

Virtual Displacement

D’Alembert’s Equation