이 포스팅은 Linear Algebra Basic 시리즈 6 편 중 2 번째 글 입니다.

  • Part 1 - 01: Types of Matrix (행렬의 종류)
  • Part 2 - This Post
  • Part 3 - 03: Linear Independent, Guass-Jordan Method, Pivoting (선형 독립, 가우스-조르당 방법, 피보팅)
  • Part 4 - 04: LU Decomposition (LU 분해)
  • Part 5 - 05: Aspects of Matrix Multiplication (행렬 곱셈의 여러 측면)
  • Part 6 - 06: QR Decomposition (QR 분해)
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목차

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Determinant

\[det(I)\;=\;1\\ \;\\ det(A^T)\;=\;det(A)\\ \;\\ det(AB)\;=\;det(A)det(B)\\ \;\\ det(cA)\;=\;c^ndet(A)\]

Inverse Matrix

Definition

정사각행렬에서 정의된다.

\[AA^{-1}\;=\;A^{-1}A\;=\;I\]

Determinant 에 따른 구분, 그리고 의미

  • Determinant 가 존재한다.
    • 역행렬이 존재한다.
      • 비특이행렬 (Non-Singular Matrix)
      • 이 행렬이 다른 벡터에 곱해졌을 때, 차원의 크기가 유지된다.
      • 방정식의 해가 하나로 정해진다.
  • Determinant 가 존재하지 않는다.
    • 역행렬이 존재하지 않는다.
      • 특이행렬 (Singular Matrix)
      • 이 행렬이 다른 벡터에 곱해졌을 때, 차원의 크기가 축소된다.
      • 방정식의 해가 무수히 많다.

성질

\[1.\;(AC)^{-1}\;=\;C^{-1}A^{-1}\\ \;\\ 2.\;(AC\dots PQ)^{-1}\;=\;Q^{-1}P^{-1}\dots B^{-1}A^{-1}\\ \;\\ 3.\;(A^{-1})^{-1}\;=\;A\\ \;\\ 4.\;(A^{-1})^T\;=\;(A^{T})^{-1}\]

Orthogonal Matrix

\[A^TA\;=\;AA^T\;=\;I\\ \;\\ A\;=\;A^{-1}\\\]