이 포스팅은 Linear Algebra Basic 시리즈 6 편 중 5 번째 글 입니다.

Part 1 - 01: Types of Matrix (행렬의 종류)
Part 2 - 02: Determinant, Inverse Matrix, Orthogonal Matrix (행렬식, 역행렬, 직교행렬)
Part 3 - 03: Linear Independent, Guass-Jordan Method, Pivoting (선형 독립, 가우스-조르당 방법, 피보팅)
Part 4 - 04: LU Decomposition (LU 분해)
Part 5 - This Post
Part 6 - 06: QR Decomposition (QR 분해)

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원소의 측면
행의 측면
열의 측면
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원소의 측면

R이 결과 행렬이라고 한다면,

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1\times1+2\times0 & 1\times1+2\times3\\ 4\times1+3\times0 & 4\times1+3\times3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 13 \end{bmatrix}$

$R\;=\;[r_{ij}]\;=\;\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}$

행의 측면

행의 측면에서 행렬의 곱을 바라본다면, 내가 변환된 행렬이 오른쪽에 있다고 가정했을 때 판단하면 유용하다. A가 내가 관심을 두는 행렬이고, E가 변환을 하는 행렬이라 생각하자.

$R\;=\;EA\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1}\\ \overset{\rightarrow}{x_2} \end{bmatrix}\;=\; 1\times\overset{\rightarrow}{x_1}+2\times\overset{\rightarrow}{x_2} \;=\;[1\;\;\;7]$

따라서 내가 원하는 행렬이 오른쪽에 있다면 그 행렬을 행벡터의 모임 으로 생각하고 왼쪽의 변환 행렬은 행방향 순서대로 상수배를 해주고 더한다는 개념으로 이해한다. 결과는 행벡터이다. 따라서,

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1}\\ \overset{\rightarrow}{x_2} \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1\times\overset{\rightarrow}{x_1}+2\times\overset{\rightarrow}{x_2}\\ 4\times\overset{\rightarrow}{x_1}+3\times\overset{\rightarrow}{x_2} \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 13 \end{bmatrix}$

열의 측면

이번에는 내가 관심이 있는 행렬이 왼쪽에 있다고 생각하자. 그렇다면,

$R\;=\;AE\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1} & \overset{\rightarrow}{x_2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix}\;=\; \overset{\rightarrow}{x_1}\times1+\overset{\rightarrow}{x_2}\times3 \;=\; \begin{bmatrix} 7\\ 13 \end{bmatrix}$

따라서,

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1} & \overset{\rightarrow}{x_2}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} \overset{\rightarrow}{x_1}\times1+\overset{\rightarrow}{x_2}\times0 & \overset{\rightarrow}{x_1}\times1+\overset{\rightarrow}{x_2}\times3 \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 & 7\\ 4 & 13 \end{bmatrix}$

정리

기본 요소로 보았을 때 계산은 식으로 나타냈을 때 굉장히 심플하다!
내가 원하는 행렬이 오른쪽에 있을 때는 행으로 본다!
내가 원하는 행렬이 왼쪽에 있을 때는 열로 본다!

완숙의 에그머니🍳

05: Aspects of Matrix Multiplication (행렬 곱셈의 여러 측면)

원소의 측면

행의 측면

열의 측면

정리