이 포스팅은 통계개념 정리 시리즈 13 편 중 12 번째 글 입니다.
목차
표본 분포와 통계량에 대해 이해한다.
추론
표본을 가지고 모집단의 특성(모수)를 예측하는 것
통계학의 핵심은 내가 원하는 집단의 특징을 알아내는 것이다. 즉, 우리가 관측할 수 있는 표본을 가지고, 이 표본의 특징을 통해 모집단의 특징(모수)를 예측하는 것이다.
이러한 모수는 수치로 표현되는 모집단의 특성을 말하는데, 이 모수는 내가 모집단의 분포를 가정했을 때, 해당 분포를 나타내기 위한 parameter로 대변될 수 있다.
통계량
표본의 관측값들에 의하여 결정되는 수치적인 양
표본 평균, 표본 표준 편차와 같이 표본의 값을 기반으로 하여 얻을 수 있는 값을 통계량이라 한다. 이런 통계량을 기반으로 이와 모수와의 관계를 알아내고, 모수를 추론하는 과정을 거친다.
이런 통계량을 랜덤변수로 사용할 수 있다. 우리가 표본을 뽑을 때 마다 표본에 해당하는 통계량 값은 변화하기 때문이다. 따라서 우리는 여러번의 표본을 뽑는다는 가정하에 이러한 통계량을 랜덤변수로써 사용할 수 있다.
중심 극한 정리
\[Z = {\bar X - \mu\over {\sigma / \sqrt{n}}}\]어떠한 모집단이더라도, 모집단의 평균이 $\mu$ 이고, 분산이 $\sigma^2$ 일 때, 임의추출된 표본의 표본 평균 $\bar X$ 는 표본의 크기가 클 경우 정규분포를 따른다.
매우 중요한 중심극한 정리이다. 중심극한 정리의 핵심은, 표본을 뽑은 통계량으로 우리는 모집단의 모수를 추론할 것인데, 어떠한 분포에서 표본을 뽑던 간에 무조건 표본 평균이라는 통계량이 따르는 분포가 정해졌다는 것이다. 이러한 점에서 우리는 통계량의 분포를 가지고 모평균을 추론할 수 있게 된다.
이 중심극한 정리의 증명은 적률 생성 함수를 가지고 할 수 있다. 자세한 점은 수리 통계학 책을 공부하기 바란다.