이 포스팅은 System Dynamics 시리즈 8 편 중 3 번째 글 입니다.

Part 1 - 01: 다물체 동역학 개론
Part 2 - 02: 평면에서 다물체계의 운동학
Part 3 - This Post
Part 4 - 04: 평면에서의 기구학
Part 5 - 05: 기구학적 제약
Part 6 - 06: Newton Raphson Method
Part 7 - 07: Computational Algorithm
Part 8 - 08: Newton-Euler Equations, D'Alembert's Principle

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Orthogonality
Orthonomality
Vector Differentiation
Skew-Symmetric Matrix Representation
- Property
- 역학에서 사용예
  - Jacobi’s Theorem

▼ 내리기

행렬의 종류에 대해서는 링크로 대체한다!

Types of Matrix

Orthogonality

두 벡터를 곱했을 때 수직! 자기 자신이 나온다.

$\vec {a} \cdot \vec {b}\;=\;\vec {a}^T \vec {b}\;=\;0$

자기 자신을 곱한다면 자기자신의 크기의 제곱이 나와야 한다.

$\vec {a} \cdot \vec {a}\;=\;\vec {a}^T \vec {a}\;=\;|\vec {a}|^2$

Orthonomality

여기서는 두 벡터가 단위 벡터이다! 따라서 자기 자신을 곱했을 때, 1이 나와야 한다.

$\vec {a} \cdot \vec {a}\;=\;\vec {a}^T \vec {a}\;=\;1$

사실 Orthogonal Matrix는 각 열(혹은 행) 벡터가 모두 단위 벡터일 때 정의를 만족한다!

Vector Differentiation

Scalar Function by Scalar

$f \;=\;function \;of(q_1,q_2,\dots,q_n, t)\\ \;\\ q_i\;=\;g_i(t),\;\;i=1,2,3 \dots, n$

이때 t에 대해 미분하면,

${df\over dt}\;=\;{\partial f\over \partial q_1}{dq_1\over dt}+{\partial f\over \partial q_2}{dq_2\over dt}+\dots+{\partial f\over \partial q_n}{dq_n\over dt}+{\partial f \over \partial t}$

이를 벡터 형식으로 나타내면,

${df\over dt}\;=\;\begin{bmatrix} {\partial f\over \partial q_1} & {\partial f\over \partial q_2} & \dots & {\partial f\over \partial q_n}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {dq_1\over dt}\\ {dq_2\over dt}\\ \vdots \\{dq_n\over dt}\\ \end{bmatrix} +{\partial f \over \partial t}\\$

여기서 벡터로 표현된 녀석을 다음과 같이 표현하자.

$\begin{bmatrix} {\partial f\over \partial q_1} & {\partial f\over \partial q_2} & \dots & {\partial f\over \partial q_n}\\ \end{bmatrix}={\partial f \over \partial \overset{\rightarrow}{q}}=f_{\overset{\rightarrow}{q}}$

$\begin{bmatrix} {dq_1\over dt}\\ {dq_2\over dt}\\ \vdots \\{dq_n\over dt}\\ \end{bmatrix}={d \overset{\rightarrow}{q} \over dt}$

그렇다면 위의 식은 다음과 같이 정리된다.

${df\over dt}\;=\;f_{\overset{\rightarrow}{q}}{d \overset{\rightarrow}{q} \over dt}+{df \over dt}$

Vector Function by Scalar

벡터함수 f는 각각의 요소에 변수 (q1~qn, t) 를 갖는 스칼라 함수를 m개 갖는다고 하자.

$f_1\;=\;f_1(q_1,q_2,\dots,q_n,t)\\ f_2\;=\;f_1(q_1,q_2,\dots,q_n,t)\\ f_3\;=\;f_1(q_1,q_2,\dots,q_n,t)\\ \vdots\\ f_m\;=\;f_n(q_1,q_2,\dots,q_n,t)\\ \;\\ \;\\ \overset{\rightarrow}{f}\;=\;[f_1\;f_2\;f_3\;\dots\;f_m]^T$

그렇다면 이 함수를 스칼라 변수 t로 미분하면,

각각의 요소는,

${df_j\over dt}\;=\;{\partial f_j \over \partial \overset{\rightarrow}{q}}{d \overset{\rightarrow}{q} \over dt}+{df \over dt}\\ \;\\ \;\\ j\;=\;1,2,\dots, m$

${\partial f_j \over \partial \overset{\rightarrow}{q}}= \begin{bmatrix} {\partial f_j\over \partial q_1} & {\partial f_j\over \partial q_2} & \dots & {\partial f_j\over \partial q_n}\\ \end{bmatrix}$

그렇다면, 벡터 함수를 t로 미분한 최종 결과는,

${d\overset{\rightarrow}{f} \over dt}\;=\;\begin{bmatrix} {df_1\over dt}\\ {df_2\over dt}\\ \vdots \\{df_n\over dt}\\ \end{bmatrix}\;= \begin{bmatrix} {\partial f_1\over \partial q_1} & \dots & {\partial f_1\over \partial q_n} \\\vdots\ & & \vdots\\ {\partial f_m\over \partial q_1} & \dots & {\partial f_m\over \partial q_n}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {dq_1\over dt}\\ \vdots \\{dq_n\over dt}\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} {df_1 \over dt}\\ \vdots \\{df_m \over dt}\\ \end{bmatrix} \\$

${d\overset{\rightarrow}{f} \over dt}\;=\;{\partial\overset{\rightarrow}{f} \over \partial\overset{\rightarrow}{q}}{d\overset{\rightarrow}{q} \over dt} +{\partial\overset{\rightarrow}{f} \over \partial t}$

여기서 행렬이 만들어진다는 것을 잊으면 안된다! 각각의 크기만 적어보면,

Scalar Function by Vector

스칼라 함수를 스칼라로 미분하는 가장 위의 예에서, 함수 f를 벡터 q로 미분하면, 다음과 같다.

${d f \over d\overset{\rightarrow}{q}}\;=\;\begin{bmatrix} {d f\over d q_1} & {d f\over d q_2} & \dots & {d f\over d q_n}\\ \end{bmatrix}$

Vector Function by Scalar

벡터 함수를 스칼라로 미분하는 두번째 예에서, 벡터 함수 f를 q1으로 미분한다면,

${d\overset{\rightarrow}{f} \over dq_1}\;=\;\begin{bmatrix} {d f_1\over d q_1} & {d f_1\over d q_1} & \dots & {d f_1\over d q_1}\\ \end{bmatrix}$

정리

스칼라 함수를 스칼라로 미분하면 스칼라함수다.
스칼라 함수를 벡터 함수로 미분하면 1xn 벡터가 나온다.
벡터 함수를 스칼라로 미분하면 1xm 벡터가 나온다.
벡터 함수를 벡터로 미분하면 nxm 행렬이 나온다.

Skew-Symmetric Matrix Representation

Skew-Symmetric Matrix는 벡터의 외적을 사용해서 다르게 표현이 가능한데, 간단한 예를 들어 생각해보자.

$\overset{\rightarrow}{a} \;=\;[a_1\;a_2\;a_3]^T\\ \overset{\rightarrow}{b} \;=\;[b_1\;b_2\;b_3]^T\\$

이 두 벡터를 내적하면,

$\overset{\rightarrow}{a}\times\overset{\rightarrow}{b}\;=\; \begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ -(a_1b_3-a_3b_1)\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}\;=\; { { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } } \cdot \overset{\rightarrow}{b}$

외적 식을 b벡터를 활용해서 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이때 중간에 skew-symmetric matrix 가 나오고, a 벡터가 왼쪽에 놓인 외적을 수행했을 때 발생하는 행렬을 위와 같이 표현했다. 마찬가지로, b벡터에 대해 하면,

$\overset{\rightarrow}{a}\times\overset{\rightarrow}{b}\;=\;\begin{bmatrix} 0 & -b_3 & b_2\\ b_3 & 0 & -b_1\\ -b_2 & b_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}\;=\; { { \underset{=} {\overset{\sim}{b} } } } \cdot \overset{\rightarrow}{a}$

이와 같다.

Property

a 의 단위벡터와 a 벡터를 외적하면, 0이다.

$\hat{\overset{\rightarrow}{a}}\;\times \;\overset{\rightarrow}{a}\;=\; -\overset{\rightarrow}{a}\;\times \;\hat{\overset{\rightarrow}{a}}\;=\; \overset{\rightarrow}{0}$

이 표현을 Skew-symmetric Matrix를 써서 표현하면,

$-\overset{\rightarrow}{a}\;\times \;\hat{\overset{\rightarrow}{a}}\;=\; -{ { \underset{=} {\overset{\rightarrow}{a} } } } \cdot \hat{\overset{\rightarrow}{a}}\;=\; {\overset{\rightarrow}{0}}$

Skew-Symmetric Matrix 의 특징을 사용하면,

$-{ { \underset{=} {\overset{\rightarrow}{a} } } }\;=\;{ {\underset{= }{\overset{\rightarrow}{a} } } }^T$

$-{ { \underset{=} {\overset{\rightarrow}{a} } } } \cdot \hat{\overset{\rightarrow}{a}}\;=\;{ { \underset{=} {\overset{\rightarrow}{a} } } }^T\cdot \hat{\overset{\rightarrow}{a}}\;=\;{\overset{\rightarrow}{0}}$

역학에서 사용예

시스템 내에서 역학적 Joint 에서 위치 벡터와의 관계는 다음과 같이 빈번하게 묘사된다.

$\overset{\rightarrow}{a}\times\overset{\rightarrow}{x}\;=\;\overset{\rightarrow}{0}$

즉, a 벡터와 x 벡터가 수직임을 나타낸다. 수직인 벡터는 무수하게 많이 나온다는 점을 기억한 상태로 다음을 보자. Skew-symmetric Matrix를 사용해서 나타내면,

${ { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } } \cdot \overset{\rightarrow}{x}\;=\;\overset{\rightarrow}{0}\\ \;\\ \;\\ { { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } }\;=\; \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}$

a 행렬에 대해 Determinant를 구해보면, 0이다. 즉, a 행렬은 특이 행렬이다. 즉, Rank가 matrix size보다 작다. 즉, x 벡터는 하나로 결정되지 못한다.

Jacobi’s Theorem

$det({ { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } })\;=\;\overset{\rightarrow}{0}\\$

Determinant 의 성질에 의해서,

$det({ { \underset{=} A} })\;=\;det({ { \underset{=} A^T} })$

$det({ { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } }^T)\;=\; det(-{ { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } })\;=\; (-1)^ndet({ { \underset{=} {\overset{\sim}{a} } } })$

이 때 n이 짝수이게 되면, 양쪽 식의 값이 동치가 되어 det(a)의 값은 부정이다. 따라서 n의 값은 홀수여야 한다. 즉, Skew-symmetric Matrix의 행렬식의 값이 0이 되려면, 행렬의 size가 홀수 차원이어야 한다.

완숙의 에그머니🍳

03: Orthogonality, Vector Differentiation, Jacobi's Theorem

Orthogonality

Orthonomality

Vector Differentiation

Scalar Function by Scalar

Vector Function by Scalar

Scalar Function by Vector

Vector Function by Scalar

정리

Skew-Symmetric Matrix Representation

Property

역학에서 사용예

Jacobi’s Theorem